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%profondeur de la table des matieres.
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%*********************commandes****************************
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
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%----- Modifications de symboles -----
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%----- Fonctions usuelles -----
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\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ENTETE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%\LogoExoSept


%\kern-2em
%\hfill\textsf{Ann\'ee 2014}
%
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%\hfil\textsf{\textbf{\Large }MPA S2 algèbre}
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%**********************commandes locales*********************

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%
\sloppy
%
\title{MPA S2 algèbre. Devoir maison à rendre pour le 6 mars 2014.} 

 
\author{C.~Huyghe}
\date{}
\maketitle
Ce devoir interviendra dans la note de contrôle continu. 

%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
        \item 
					   \begin{enumerate}
									   \item 
										 On appelle racine $n$-ième de l'unité dans $\Cc$ un nombre complexe 
										 $\omega$ tel que $\omega^n=1$. On dit que $\omega$ est primitive si 
										   $$ \omega^m=1 \, \Leftrightarrow \, m=n.$$
											 Donner un exemple de racine $n$-ième primitive de l'unité dans $\Cc$ (sous
                                         forme exponentielle).
										\item Soit $\omega$ une racine $n$-ième de l'unité dans $\Cc$. Montrer que 
												   $$1+\omega+\ldots +\omega^{n-1}=0.$$ En déduire que 
													$$\sum_{k=0}^{n-1} sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)=0.$$
										\item Donner la liste des racines $5$-ième de l'unité.
										\item Soient $\zeta$ une racine $5$-ième de l'unité et $a\in \Cc$ une racine de  $P(X)=X^5+1$.
											Montrer que $a\zeta$ est une racine de $P$. En déduire le calcul des $5$ racines complexes de
														 $P$.
                        \end{enumerate}
           \item      \begin{enumerate}
                                              \item
											      Pour $z\in \Cc$, on pose 
											       $$f(z)=\frac{z-1}{z+1}.$$ Montrer que $f$ induit une bijection :
											       $f$ : $\Cc\backslash\{-1\} \rightarrow \Cc\backslash\{1\}$. Calculer la bijection  
												  réciproque $f^{-1}$ : $\Cc\backslash\{1\} \rightarrow \Cc\backslash\{-1\}$.
											  \item Montrer que pour $k\in\{1,\ldots,n-1\}$, on a 
											   $$\frac{1+e^{\frac{2ik\pi}{n}}}{1-e^{\frac{2ik\pi}{n}}}=i cotan\left(\frac{k\pi}{n}\right).$$
											  \item Combien l'équation dans $\Cc$, $(z-1)^n=(z+1)^n$ a-t-elle de solutions (en comptant les racines avec
															  multiplicité) ? Résoudre cette équation. En déduire une factorisation du polynôme 
											  $Q(z)=(z-1)^n-(z+1)^n$.
				   \end{enumerate} 
         \item Répondre par V (Vrai) ou F (Faux) aux questions suivantes. Donner une démonstration si la proposition est
vraie et un contre-exemple sinon.
                      \begin{enumerate}
                          \item Soit $E$ l'espace vectoriel réel des suites à valeurs réelles. Soit $M$ l'ensemble des
suites croissantes de $E$. Est-ce que $M$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ?
                          \item Est-ce que la réunion de deux sous-espaces vectoriels de $\Rr^2$ est un sous-espace vectoriel de  
                            $\Rr^2$ ?
                          \item Soit $t\in \Rr$, est-ce que les $3$ vecteurs suivants forment une base de
                           $\Cc^3$: 
                          $$ U=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1  \end{array}\right],\,
                            V =\left[\begin{array}{c} 1 \\ t^2+1\\ 0 \end{array}\right], \, 
                            W  =\left[\begin{array}{c} 1-i \\ t^2+1 \\ -i \end{array}\right].$$  
                       \end{enumerate}
        \item Soit $A \in M_2(\Cc)$, $A=(a_{i,j})$. On Pose $$E=\left\{A \in M_2(\Cc)\, | \, a_{1,1}+a_{2,2}=0 \right\}.$$
                         \begin{enumerate}
                             \item Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_2(\Cc)$.
                              \item Montrer que si $A\in E$, $^tA \in E$ ($E$ est stable par transposition).
                             \item Montrer que les matrices $$T_1=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0
                                                                     \end{array}\right], \,
                                                            T_2=^t T_1,\, T_3=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1
                                                                     \end{array}\right],$$
                                    sont des éléments de $E$ et forment une famille libre de $E$.
                             \item  Montrer que $T_1$, $T_2$, et $T_3$ forment une famille génératrice de $E$ et donc
                          une base de $E$.
                         \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{document}
